Ⅰ- 2. 사각형의 성질

01

오른쪽 그림과 같은 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 두 대각선의 교점을 [eqn: rm O]라 할 때, 다음 중 평행사변형의 뜻을 기호로 바르게 나타낸 것은?

① [eqn: rm bar{AB} = bar{DC}], [eqn: rm barAD = barBC]

② [eqn: rm barOA = barOC], [eqn: rm barOB = barOD]

③ [eqn: rm barAB ⫽ barDC], [eqn: rm barAB = barDC]

④ [eqn: rm barAB ⫽ barDC], [eqn: rm barAD ⫽ barBC]

⑤ [eqn: rm angleABC = angleCDA], [eqn: rm angleBAD = angleDCB]

02

오른쪽 그림과 같은 평행사
변형 [eqn: rmABCD]에서
[eqn: rm angleACB = 40°],
[eqn: rm angleACD= 66°], [eqn: rm angleADB= 30°]일 때, [eqn: ANGLE x- ANGLE y]의 크기를 구하시오.

(단, [eqn: rmO]는 두 대각선의 교점이다.)

03

오른쪽 그림과 같은 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 점 [eqn: rm E]는 [eqn: rm ANGLE B]의 이등분선과 [eqn: rm barCD]의 연장선의 교점이다. [eqn: rm bar{AB} =4``cm], [eqn: rm bar{DE} =2``cm]일 때, [eqn: rm barAD]의 길이를 구하시오.

04

오른쪽 그림과 같은 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rm bar{BF}]는 [eqn: rm ANGLE B]의 이등분선이고 [eqn: rm bar{BF} BOT bar{EC}]이다. [eqn: rm ANGLE D=78°]일 때, [eqn: ANGLE x]의 크기를 구하시오.

05

오른쪽 그림과 같은 평행사변형 [eqn: rmABCD]의 두 대각선의 교점 [eqn: rm O]를 지나는 직선이 [eqn: rm bar{AD}], [eqn: rm bar{BC}]와 만나는 점을 각각 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]라 할 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① [eqn: rm barAP = barCQ]	② [eqn: rm barDP = barBQ]

③ [eqn: rm barOP = barOQ]	④ [eqn: rm angleOBQ = angleOCQ]

⑤ [eqn: rm angleOPD = angleOQB]

06

다음 중 [eqn: rm □ABCD]가 평행사변형인 것은?
(단, [eqn: rmO]는 두 대각선의 교점이다.)

① [eqn: rm angleA = 50°], [eqn: rm angleB = 50°], [eqn: rm angleC = 130°],

[eqn: rm ANGLE D=130°]

② [eqn: rm bar AD ⫽ barBC], [eqn: rm barAB = 4``rmcm], [eqn: rm barDC = 4``rmcm]

③ [eqn: rm angleA = 120°], [eqn: rm angleC = 60°], [eqn: rm angleD = 120°]

④ [eqn: rm barOA = 6``cm], [eqn: rm barOB = 7``cm], [eqn: rm barOC = 6``cm],
[eqn: rm barOD = 7``cm]

⑤ [eqn: rm barAB = 8``rmcm], [eqn: rm barBC = 9``cm], [eqn: rm barCD = 8``cm],
[eqn: rm barAD = 8``cm]

07

오른쪽 그림과 같은 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 각 변의 중점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR], [eqn: rmS]라 할 때, [eqn: rm □PQRS]가 평행사변형이 되는 조건으로 가장 알맞은 것은?

① 두 쌍의 대변이 각각 평행하다.

② 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.

③ 두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.

④ 한 쌍의 대변이 평행하고 그 길이가 같다.

⑤ 두 대각선이 서로를 이등분한다.

08

오른쪽 그림과 같은 평행사변
형 [eqn: rmABCD]의 대각선 [eqn: rmAC] 위
의 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여
[eqn: rm barAP = barCQ]이다.
[eqn: rm anglePQD = 64°], [eqn: rm angleDPQ : angleBPQ = 3:4]일 때,
[eqn: anglex]의 크기를 구하시오.

09

오른쪽 그림과 같은 평행사변형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rm barAB], [eqn: rm barDC]의 중점을 각각 [eqn: rmM], [eqn: rm N]이라 하고, [eqn: rm barAN]과 [eqn: rm barDM]의 교점을 [eqn: rmP], [eqn: rm barBN]과 [eqn: rm barCM]의 교점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: rm □ABCD]의 넓이가 [eqn: 40 rm``cm^2]일 때, [eqn: rm triangleAPD]와 [eqn: rm triangleBQC]의 넓이의 합을 구하시오.

10

오른쪽 그림과 같이 직사각형 [eqn: rmABCD]의 대각선 [eqn: rmBD]를 접는 선으로 하여 점 [eqn: rmC]가 점 [eqn: rmE]에 오도록 접으면 [eqn: rmangleDBC = 28°]이다. [eqn: rm barAB]의 연장선과 [eqn: rm barDE]의 연장선의 교점을 [eqn: rmF]라 할 때, [eqn: angle rmF]의 크기를 구하시오.

11

오른쪽 그림과 같은 직사각형 [eqn: rmABCD]에서
[eqn: rm angleBAC = 60°], [eqn: rm barAB = 5``cm]일 때, [eqn: rm barAC]의 길이를 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 두 대각선의 교점이다.)

12

오른쪽 그림과 같은 평행사변형 [eqn: rmABCD]가 직사각형이 되는 조건이 아닌 것은? (단, [eqn: rmO]는 두 대각선의 교점이다.)

① [eqn: rm angleA = angleD]	② [eqn: rm barAC = barBD]

③ [eqn: rm barAO = barDO]	④ [eqn: rm barAC bot barBD]

⑤ [eqn: rm angleOAB = angleOBA]

13

오른쪽 그림과 같은
마름모 [eqn: rmABCD]에서
[eqn: rm barAC = 8``cm], [eqn: rm angleB = 60°]일 때, [eqn: rm □ABCD]의 둘레의 길이를 구하시오.

14

오른쪽 그림과 같은 마름모 [eqn: rmABCD]에서 두 대각선의 교점을 [eqn: rmO]라 할 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

① [eqn: rm barAC bot barBD]	② [eqn: rm angleABD = angleADB]

③ [eqn: rm barAC = barBD]	④ [eqn: rm barBO = barDO]

⑤ [eqn: rm triangleADO == triangleCDO]

15

오른쪽 그림과 같은 평행사변형 [eqn: rmABCD]가 마름모가 되도록 하는 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여 [eqn: x+y]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

16

오른쪽 그림과 같은 정사각형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rm barBD = 12``cm]일
때, [eqn: rm □ABCD]의 넓이를 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 두 대각선의 교점이다.)

17

오른쪽 그림과 같은 정사각형 [eqn: rmABCD]의 내부의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: rm barBP = barCP = barCD]일 때,
[eqn: rm angleADP]의 크기를 구하시오.

18

사각형 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rm barAD ⫽ barBC]이고 [eqn: rm barAC = barBD]일 때, 다음 중 [eqn: □rmABCD]가 정사각형이 되는 조건은?

① [eqn: rm barAD = barBC], [eqn: rm barAB = barDC]

② [eqn: rm barAD = barBC], [eqn: rm barAC bot barBD]

③ [eqn: rm barAB = barDC], [eqn: rm {bar{AB}} ⫽ {bar{DC}}]

④ [eqn: rm barAB ⫽ barDC], [eqn: rm angleA = 90°]

⑤ [eqn: rm barAD = barBC], [eqn: rm angleA =90°]

19

오른쪽 그림과 같이
[eqn: rm barAD ⫽ barBC]인 등변사다리꼴 [eqn: rm ABCD]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 [eqn: rm barBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm E]라 할 때, [eqn: rm barBC]의 길이는?

① [eqn: 7 rm``cm]	② [eqn: rm 8 ``cm]	③ [eqn: rm 9``cm]

④ [eqn: 10 rm``cm]	⑤ [eqn: 11 rm``cm]

20

오른쪽 그림은
[eqn: rm bar AD ⫽ barBC]인 등변사다리꼴 [eqn: rmABCD]에서 [eqn: rm barBC]의 연장선 위에 [eqn: rm barAE ⫽ barDB]가 되도록 점 [eqn: rmE]를 잡은 것이다. [eqn: rm angleACB = 40°]일 때, [eqn: rm angleE]의 크기를 구하시오.

21

다음 중 옳지 않은 것은?

① 한 내각의 크기가 [eqn: 90°]인 마름모는 정사각형이다.

② 두 대각선이 수직인 평행사변형은 마름모이다.

③ 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 직사각형이다.

④ 두 대각선의 길이가 같은 마름모는 정사각형이다.

⑤ 이웃하는 두 각의 크기가 같은 평행사변형은 직사각형이다.

22

다음은 사각형과 그 대각선의 성질을 보기에서 골라 짝 지은 것이다. 옳지 않은 것은?

㈀ 두 대각선이 수직이다.

㈁ 두 대각선의 길이가 같다.

㈂ 두 대각선이 서로를 이등분한다.

① 평행사변형 - ㈂	② 직사각형 - ㈁, ㈂

③ 마름모 - ㈀, ㈁	④ 정사각형 - ㈀, ㈁, ㈂

⑤ 등변사다리꼴 - ㈁

23

다음은 사각형과 그 사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형을 짝 지은 것이다. 옳지 않은 것은?

① 평행사변형 - 평행사변형

② 직사각형 - 마름모

③ 사각형 - 평행사변형

④ 정사각형 - 정사각형

⑤ 등변사다리꼴 - 직사각형

24

오른쪽 그림과 같은
[eqn: rm triangle ABC]에서 꼭짓점 [eqn: rm A]와 [eqn: rm barAB] 위의 한 점 [eqn: rm D]에서 [eqn: rm barBC]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H], [eqn: rm M]이라 하자.
[eqn: rm barBM = 4``cm], [eqn: rm barAH = 6``cm]일 때, [eqn: rm triangleDBH]의 넓이를 구하시오.

25

오른쪽 그림과 같이
[eqn: rm barAD ⫽ barBC]인 사다리꼴
[eqn: rm ABCD]에서 [eqn: rm triangleACD]의
넓이가 [eqn: 30 rm``cm^2]이고
[eqn: rm barOB : barOD = 3:2]일 때, [eqn: rm □ABCD]의 넓이를 구하시오.

<정답 및 풀이>

Ⅰ- 2. 사각형의 성질

01 ④	02 [eqn: 26°]	03 [eqn: 6 rm``cm]	04 [eqn: 129°]	05 ④	06 ④

07 ②	08 [eqn: 68 °]	09 [eqn: 10 rm``cm^2]	10 [eqn: 56°]

11 [eqn: 10`rmcm]	12 ④	13 [eqn: 32 rm``cm]	14 ③

15 ③	16 [eqn: 72 rm``cm^2]	17 [eqn: 15°]	18 ②	19 ③

20 [eqn: 40°]	21 ③	22 ③	23 ⑤	24 [eqn: 12``rmcm^2]

25 [eqn: 75 rm``cm^2]

01    ④

평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형이다.

02    [eqn: 26°]

[eqn: rm barAD ⫽ barBC]이므로   [eqn: rm ANGLE DAC= ANGLE ACB=40°] (엇각)

따라서 [eqn: rm triangleAOD]에서   [eqn: anglex = 40°+30°=70°]

또 [eqn: rm triangleDOC]에서   [eqn: rm angleCDO = 180° - (70°+66°)=44°]

[eqn: rm barAB ⫽barDC]이므로   [eqn: angley = rm angleCDO =44°] (엇각)

[eqn: therefore~anglex - angley = 70° -44°=26°]

03    [eqn: 6 rm`cm]

[eqn: rm angleCBE = angleABE = angleCEB](엇각)이므로

[eqn: rm bar{BC} = bar{EC} =2+4=6``( rm cm)]

[eqn: rm therefore~barAD = bar BC = 6``(cm)]

04    [eqn: 129°]

[eqn: rm angleA + angleD = 180°]이므로   [eqn: rmangleA =180°-78° = 102°]

[eqn: rm angleABC = angleD = 78°]이므로   [eqn: rm ANGLE ABF= {1} over {2} TIMES 78°=39°]

따라서 [eqn: rm □ABFE]에서

[eqn: rm102°+39°+90°+angle itx = 360°]   [eqn: therefore~anglex = 129°]

05    ④

①, ③ [eqn: rm triangleOPA == triangleOQC] ([eqn: rmASA] 합동)이므로

[eqn: rm ` bar{AP} `=` bar{CQ}], [eqn: rm barOP = barOQ]

②, ⑤ [eqn: rm triangle OPD == triangleOQB] ([eqn: rmASA] 합동)이므로

[eqn: rm barDP = barBQ], [eqn: rm angleOPD = angleOQB]

06    ④

④ 두 대각선이 서로를 이등분하므로 평행사변형이다.

07    ②

[eqn: rm triangleAPS == triangleCRQ] ([eqn: rmSAS] 합동)이므로   [eqn: rm barPS = barRQ]

[eqn: rm triangleBPQ == triangleDRS] ([eqn: rmSAS] 합동)이므로   [eqn: rm barPQ = barRS]

08    [eqn: 68°]

[eqn: rm□PBQD]는 평행사변형이므로

[eqn: rm angleBPQ = anglePQD = 64°](엇각)

[eqn: anglermDPQ : angleBPQ = 3:4]이므로

[eqn: rm angleDPQ : 64° = 3:4]   [eqn: therefore~ rm angleDPQ = 48°]

따라서 [eqn: rm angleDPB = 64° +48° =112°]이므로

[eqn: anglex = 180° - 112° =68°]

09    [eqn: 10 rm``cm^2]

[eqn: rm □AMND]는 평행사변형이므로   [eqn: rm triangleAPD = 1 over 4 □AMND]

[eqn: rm □MBCN]은 평행사변형이므로   [eqn: rm triangleBQC = 1 over 4 □MBCN]

[eqn: therefore~triangle rm APD + triangleBQC = 1 over 4 ( □ AMND + □MBCN)]

[eqn: = {1} over {4} □ rm ABCD=10``( rm cm ^{2} )]

10    [eqn: 56°]

[eqn: rm ANGLE ABE=90°-2 TIMES 28°=34°]이므로 [eqn: rm triangleBEF]에서

[eqn: anglermF = 90° - 34° = 56°]

11    [eqn: 10``rmcm]

[eqn: rm barOA = barOB]이므로   [eqn: angle rmOBA = angleOAB = 60°]

즉 [eqn: rm triangleABO]는 정삼각형이므로

[eqn: rm barAO = barAB = 5``(cm)]

[eqn: therefore~ rm barAC = 2 barAO = 2 times 5 = 10 ``(rmcm)]

12    ④

④ 마름모가 되는 조건이다.

13    [eqn: 32 rm``cm]

[eqn: rm barBA = barBC]이므로

[eqn: rm angleBAC = angleBCA = 1 over 2 times (180° - 60° ) =60°]

따라서 [eqn: rm triangleABC]는 정삼각형이므로

[eqn: rm barBA = barBC = barAC = 8``(rmcm)]

[eqn: therefore] ([eqn: rm □ABCD]의 둘레의 길이)[eqn: = 4 times 8 = 32``(rmcm)]

15    ③

• 본문 2 ~ 6쪽

[eqn: rm barAB = barDC]에서

[eqn: 2x + 3 = 4x - 5]   [eqn: therefore~x=4]

이때 [eqn: rm barAB = barAD]이어야 하므로

[eqn: 2x+3=5x-3y]   [eqn: THEREFORE ~y=3]

[eqn: THEREFORE ~x+y=7]

16    [eqn: 72 rm``cm^2]

[eqn: rm barOA = 1 over 2 times 12 =6``(rmcm)]이고, [eqn: rm angleAOD = 90°]이므로

[eqn: rm triangleABD = 1 over 2 times 12 times 6 = 36``(cm^2 )]

[eqn: therefore~ □rmABCD = 2 times 36 = 72``(rmcm^2 )]

17    [eqn: 15°]

[eqn: rm barBP = barCP = barBC]이므로   [eqn: rm anglePCB = 60°]

[eqn: therefore~anglermPCD = 90° - 60° = 30°]

[eqn: rm triangleCDP]에서

[eqn: rm anglePDC = 1 over2 times (180° - 30° ) = 75°]

[eqn: therefore~anglermADP = 90° - 75° = 15°]

18    ②

①, ③, ④, ⑤ 직사각형

19    ③

오른쪽 그림에서

[eqn: rm barEF = barAD = 5 ``(cm)],

[eqn: rm barCF = barBE = 2`` (rmcm)]

[eqn: therefore~ rm barBC = barBE + barEF + barFC]

[eqn: rm= 2+5+2=9``(cm)]

20    [eqn: 40°]

[eqn: rm triangleABC == triangleDCB]([eqn: rmSAS] 합동)이므로

[eqn: rm angleDBC = angleACB = 40°]

[eqn: rm barAE ⫽barDB]이므로   [eqn: rm angleE = angleDBC = 40°] (동위각)

21    ③

③ 이웃하는 두 변의 길이가 같은 평행사변형은 마름모이다.

22    ③

③ 마름모 - ㈀, ㈂

23    ⑤

⑤ 등변사다리꼴 - 마름모

24    [eqn: 12 rm``cm^2]

[eqn: rm barDM ⫽ barAH]이므로   [eqn: rm triangleDMH = triangleADM]

[eqn: therefore~rmtriangleDBH = triangleABM = 1 over 2 times 4 times 6 =12``(rmcm^2 )]

25    [eqn: 75 rm``cm^2]

[eqn: rm barAD ⫽barBC]이므로

[eqn: rm triangleABD = triangleACD = 30``(cm^2 )]

[eqn: rm barOB : barOD = 3:2]이므로

[eqn: rm triangleAOB = 3 over 5 times 30 = 18``(cm^2 )],

[eqn: rm triangleAOD = 2 over 5 times 30 = 12``(cm^2 )]

[eqn: therefore~rm triangleCOD = triangleACD - triangleAOD]

[eqn: rm= 30-12 = 18``(cm^2 )]

[eqn: rm barOB : barOD = 3:2]이므로

[eqn: rm triangleBOC = 3 over 2 triangleCOD = 3 over 2 times 18 = 27``(cm^2 )]

[eqn: therefore~rm □ABCD = triangleAOB + triangleBOC + triangleACD]

[eqn: = 18+27+30=75``(rmcm^2 )]